計數（Counting）其本質在於「數（shǔ）出某方案下所有可能的序號數」。它是組合數學的基石，旨在透過邏輯拆解，將複雜的整體事件轉化為簡單且互斥或有序的局部操作。
想像你正要進入一個院子：
1. 分類加法（並行）：牆上左邊有 $m$ 個門，右邊有 $n$ 個門。你只需選一個即可進去。方法數：$m+n$。
2. 分步乘法（串行）：你要通过两道墙，第一道墙有 $m$ 个门，第二道有 $n$ 个门。你必须连过两关。方法数：$m \times n$。
想像你正要進入一個院子：
1. 分類加法（並行）：牆上左邊有 $m$ 個門，右邊有 $n$ 個門。你只需選一個即可進去。方法數：$m+n$。
2. 分步乘法（串行）：你要通过两道墙，第一道墙有 $m$ 个门，第二道有 $n$ 个门。你必须连过两关。方法数：$m \times n$。
計數原理的核心定義
分類加法計數原理：針對「分類」問題，每一類方案皆能獨立完成任務。核心在於集合的無交並運算：$N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$。
分步乘法計數原理：針對「分步」問題，各步驟相互依存，必須完成所有步驟才算完成任務。核心在於路徑的笛卡爾積：$N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$。
分類強調「獨立與完整」，分步強調「依存與連續」。
獨立分類 $\implies \sum n_i$
連續分步 $\implies \prod m_i$
連續分步 $\implies \prod m_i$